Родился в Елисаветграде (Кировоград, Украина) в семье торговца рыбой; был старшим из 10 детей. В 1905–1910 гг. учился живописи в Одесском художественном училище у профессора Кириака Костанди.
В 1911–1913 гг. жил в Париже и был близко знаком со всеми художниками-выходцами из России, в т.ч. в течение года делил с Марком Шагалом ателье в фаланстере "Ля Рюш". Во время Революции Нюренберг был комиссаром искусств в Одессе, затем работал с Маяковским в "Окнах РОСТа", был профессором ВХУТЕМАСа, был одним из создателей группы «НОЖ», участвовал во многих акциях и написал ряд художественных деклараций, в т.ч. для "Бубнового Валета".
А. Нюренберг В 1927–1929 гг. был командирован Луначарским как "культурный посол" в Париж для чтения лекций о новом искусстве и репортажей для советских газет и журналов. Продолжая работать как художник, Нюренберг выставлялся в парижском "Осеннем салоне" 1928 г. По возвращении он явился одним из основателей и организаторов МОСХа и продолжал заниматься художественной и литературной деятельностью.
В 1924 году выпустил книгу – А.М.Нюренберг Поль Сезанн, типография ВХУТЕМАСа, Москва. В 1969 г. опубликовал книгу - А.М. Нюренберг. Воспоминания, встречи, мысли об искусстве, М., "Советский художник".
Нюренберг умер в Москва в 1979 г. в возрасте 91 года.
Имел две персональные выставки в Москве: в 1945 и 1961 годах. Посмертно Московский Союз художников организовал мемориальную выставку.
Осенью 2004 г. московская государственная галерея "Ковчег" организовала выставку Амшея Нюренберга и его младшего брата Давида Девинова-Нюренберга.
Работы А.Нюренберга имеются в Третьяковской галерее, Музее изобразительных искусств им. Пушкина, Восточном Музее, Музее революции, Музее Маяковского в Москве, а также в музеях Киева, Одессы, Кировограда на Украине и в музее им. Савицкого в Нукусе (Каракалпакия).
В 1915 г. Нюренберг женился на Полине Мамичевой (1893–1978). Дочь — Нина Нелина (1923–1966), солистка Большого Театра, была женой писателя Юрия Трифонова (1925–1981), который описал Нюренберга в ряде повестей и рассказов.