С ранних лет у А. Коробова проявилась способность к рисованию. В Дорогобуже, учась в средней школе, он одновременно занимался рисованием в местной студии ИЗО.
В 1923 г. переехал в Смоленск, где продолжил занятия в студии ИЗО Наробраза, также работая художником в областной газете и преподавателем рисования в средней
школе.
Александр Коробов в 1925-1930 гг. учился на живописном факультете Московского ВХУТЕИНа, занимался у С. Герасимова, А. Шевченко.
Еще будучи студентом, в 1929 году, вступил в Ассоциацию Художников Русской Революции (АХРР). По окончании ВХУТЕИНа работал в Москве, участвовал в московских и всесоюзных выставках. Вступил в Московский Союз Советских художников (МОССХ) с момента его основания в 1932 г.
В 1941 г. был мобилизован и находился в рядах советской армии вплоть до окончания войны. После войны продолжал работать в Москве, участвовал в крупнейших выставках в СССР.
Один из создателей Всероссийского общества охраны памятников истории и культуры.
Много внимания уделял пропаганде творчества народных мастеров.
Картины находятся в музеях РФ, а также в частных коллекциях в России, Германии, Франции, Японии и др.
Музеи: Центральный музей Вооруженных сил, Московский Дарвиновский музей, Смоленский обл. музей изобр. и прикладного искусства им. С.Т. Коненкова, Брянский худ. музей., Омский худ. музей, Сочинский худ. музей, Ставропольский худ. музей, Зеленогорский худ. музей Красноярского края, Саянский худ. музей, Михайловский худ. музей Алтайского края, Вяземский худ. музей.